第一篇：圆的常用辅助线

圆中常见的辅助线的作法

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。2．遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3．遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。4．遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。作用：若OA=r，则l为切线。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

7．遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：

①角、线段的等量关系； ②垂直关系； ③全等、相似三角形。8．遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ②内心到三角形三条边的距离相等。9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。11．遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；

②利用圆内接四边形的性质；③利用两圆公共的圆周的性质；④垂径定理。12．遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线。

作用：①利用连心线性质； ②切线性质等。13． 遇到三个圆两两外切时 常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。

14．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时 常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。

第二篇：常见辅助线作法

初中几何常见辅助线作法（整理教师：燕东腾）

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。【 两线两腰】

角平分线加垂线，三线合一试试看。【三线合一】

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。【长截短补】

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。【中心对称】

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。【 双垂直组合】

圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

第三篇：辅助线几何证明题

辅助线的几何证明题

三角形辅助线做法

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

常见的辅助线做法

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等

（一）例题讲解

例

1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB5，AC3，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使DEDA，连接BE

又∵BDCD，BDECDA

∴BDECDASAS，BEAC3

∵ABBEAEABBE(三角形三边关系定理)

即22AD8

∴1AD4

经验总结：见中线，延长加倍。

E B D C A

第四篇：初中数学 全等辅助线

第13讲

常见全等辅助线

中考说明

内容

A

B

C

全等三角形

了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系

掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题

会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题

知识网络图

前章回顾

1．全等三角形有什么性质？

2．全等三角形有几种判定方法？

13.1倍长中线类全等

概念辨析

一．

见中点-------倍长中线（倍长类中线）

解读：凡是与中点连线的线段都可看作是中线，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的，构成8字全等．

例题精讲

【例1】

已知：中，是中线．求证：．

【讨论一下】在△中，则边上的中线的长的取值范围是什么

【例2】

如图，已知中，平分．是的中点，交于，交延长线于，．求证：．

【讨论一下】如图，已知中，．是的中点，交于，交

延长线于，．求证：平分．

【例3】

已知为的中线，的平分线分别交于、交于．求证：．

【讨论一下】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：．

【例4】

如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证：．

【讨论一下】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长于，与相等吗？为什么？

【例5】

如图，为线段的中点，在上取异于的点，分别以、为斜边在同侧作等腰直角三角形与，连结、、，求证：为等腰直角三角形．

【例6】

（202_年怀柔）已知：如图1，在中，为中点，为上一点，为上一点，联结．

求证：线段、、总能构成一个直角三角形；

【讨论一下】如图2，为中点，为上一点，为上一点，联结，请你找出一个条件，使线段、、能构成一个等边三角形，给出证明．

【例7】

如图1，矩形中，为的中点，连结．请你判断并写出是的几倍；

【例8】

已知分别是及延长线上的一点，且，连接交底于，求证．

【讨论一下】如图2，在平行四边形中，为的中点，连结、，请问：与是否也具有上题中的倍数关系？若有，请证明；若没有，请说明理由．

13.2截长补短类全等

概念辨析

一.见线段间数量关系---------截长补短或旋转

解读：只要出现类似的线段关系，就可以采取截长补短的方法来做辅助线，注意这个方法可以说是四个方法，由于方向性的不同，所以截长两种，补短两种；出现类似的线段关系时，截长补短就不行了，就得采取旋转的方法来做辅助线．

例题精讲

【例9】

（四中期中）如图，和的平分线相交于，过的直线分别交、于、两点．求证：．

【讨论一下】如图所示，在中，，求证：．

【例10】

（202_年崇文一模）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

如图，当点、边、上，且时，、、之间的数量关系是_______________；此时______________；写出结论并证明．

【讨论一下】如图所示，点、边、上，且当时，上题的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

13.3旋转类全等

概念辨析

一.旋转类全等模型：共顶点等腰三角形旋转模型——“手拉手”模型

证明全等的基本思想“”

例题精讲

【例1】

（1）如图1，点是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连结和，相交于点，连结．求的大小．

（2）如图2，固定不动，保持的形状和大小不变，将绕着点逆时针旋转，求的大小．

【讨论一下】以的两边为边向外作正方形，求证：，且．

【例11】

如图，已知，，点为等腰直角内一点，为延长线上的一点，且．

（1）求证：平分；

（2）若点在上，且，求证：．

【讨论一下】如图1，，．绕着边的中点旋转，分别交线段于点，．

观察：①如图2、图3，当或时，_______（填“”，“”或“”）．

②如图4，当时，_______（填“”，“”或“”）．

（2）猜想：如图1，当时，_______，证明你所得到的结论．

基础演练

【练1】

已知，是的中线，求证：

【练2】

已知中，为的延长线，且，为的边上的中线．

求证：

【练3】

如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．

求证：∥

【练4】

如图所示，在中，，求证：．

【练5】

如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．

【练6】

已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．

【练7】

如图，已知中，，平分，求证：.【练8】

如图所示．已知正方形中，为的中点，为上一点，且．求证：．

【练9】

如图，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：．

能力提升

【练10】

已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：．

【练11】

已知：如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：也是等边三角形．

【练12】

如图，正方形的边长为，、上各存一点、，若的周长为，求的度数．

【练13】

如图，正方形中，．求证：．

巅峰突破

【练14】

（师大附中期中）

已知：等边三角形

（1）如图1，为等边外一点，且．试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，为等边内一点，且．求证：．

【练15】

在中，，是的角平分线，于点．

（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；

（2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；

（3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．

小结与复习

1．倍长中线运用了那个最常见的全等模型？

2．见到线段数量关系时，最常见的辅助线方法是？

第五篇：初中数学常见辅助线（精选）

三角形中

等腰三角形：1.做高2.做底边延长线与腰相等

等边三角形：1.做高2.内切圆，外接圆（不常用）

30°三角形：1.做垂直2.做60°角的平分线（不常用）

三角形条件中出现中点：1.连接顶点和中点2.做中位线

三角形中出现交叉线（相似常用）：1.做平行线2.构造相等的角如做角平分线

45°三角形：1.做高

四边形中

一般四边形：1.连接对角线（常用四点共圆）2.做角平分线，平行线，连接各边中点平行四边形：常用做高，对角线，构造常用三角形

矩形正方形：对角线，构造相似三角形

菱形：由对角线垂直常构造直角三角形

梯形：做平行分成三角形和平行四边形，做高

直角梯形：做垂直分成直角三角形和矩形

等腰梯形：综合梯形和直角梯形方法，证明常需要全等

正多边形：构造三角形，内接圆、外接圆

圆中，切线问题，连半径证垂直（已知点在圆上）

做垂直证半径（未知点在圆上）

角类，弦类问题，做相等的圆周角圆心角

直角三角形，常用直径对的圆周角=90°

相交弦，弦切角定理，四点共圆，两圆相交等的定理常用连接相关两点

做关于直径对称的弦，角，点，弧，线段

部分问题需要用到平行

一个题中出现多个中点常用中位线

一个题中出现多个直角常用三角函数，直角三角形相似，射影定理

一个题中出现多处线段相等常用等腰三角形，对应线段等量代换，线段加减

一个题中以上常用的形内辅助线都没有思路的时候，可以试着做轴对称，内部线段的延长线。折叠问题中常用连接对应点，垂直，相似定理