第一篇：含绝对值的不等式解法(总结归纳)

含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法

[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是

{x|-a0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|a(a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。

求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4<0(x+4)(x-1)<0 或 或-4

原不等式解集为{x|-4

x2+3x-4<0

(x+)2<

|x+|<-

原不等式解集为{x|-4

[例题分析与解答]

例1．解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。

[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|0)型。∴-4

当a>0时，-x>，当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。

故a>0时不等式解集是{x|-

例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。

[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和

x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。

(1)

-4≤x<-。

(2)

-≤x≤-。

(3)。

综上，原不等式的解集为{x|-4≤x<-}∪{x|-≤x≤-}={x|-4≤x≤-}。

例3．解关于x的不等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。

[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。

x2+(2-a)x-2a<0

(x+2)(x-a)<0

当a>-2时，原不等式解集是{x|-2例4．已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3

[分析与解答] 二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号）又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，通过代入法求解不等式。

由ax2+bx+c>0的解集是-3

且-3，1是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴-3+1=-

∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0，∵ a<0，∴ x2-x-2<0,(x-2)(x+1)<0，∴-1

x2+(1+)x+6(-1)>0，将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0，以下同上面解法。

在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的。由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数有无穷多个，故a,b,c无唯一解。

例5．解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。

[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。

当a=0时，不等式化为8x+1>0。不等式的解为{x|x>-,x∈R}。

当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若016时，Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为。

不等式的解为{x|x<或x>}。

(2)若4

(3)若a=4时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解为{x|x≠-,x∈R}。

(4)若a=16时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=。不等式的解为{x|x≠,x∈R。}。

(5)若a<0, Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是<, 不等式的解集是：

{x|

[本周参考练习]

1．关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-

2．解不等式1<|x-2|≤7。

≤x≤，求a，b的值。

3．不等式ax2+bx+c<0的解为x<α或x>β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解。4．不等式x2-ax-6a>0的解为x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。

[参考答案]： 1．解：由|ax+1|≤b, ∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。当a>0时，≤x≤。

∴ , 不满足a>0,舍去。当a<0时，≥x≥。

∴

当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2。

2．解由1<|x-2|≤7,∴1

3．解：必有a<0，则x2+

x+>0的解为x<α或x>β，∴α+β=-, α·β=。

将cx2-bx+a>0两边同除以a(a<0)，∴

x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0，∵ αβ>0，∴ x2+（）x+<0，∴(x+)(x+)<0, ∵ α<β<0, ∴，即<, ∴->-，不等式解为-

4．解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有两不等根，且α，β是其两根（β>α）。

∴ β-α=，∴ a2+24a≤25，-25≤a<24或0

第二篇：分式和绝对值不等式的解法

（一）分式不等式： f(x)f(x)为整式且（x）的不等式称为分式不等式。0或0（其中f(x)、（x）0）(x)(x)

（1）分式不等式的解法：

解关于x的不等式x10 3x

2方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：

x10x10或(x1)(3x2)0 3x203x20

变式一：x103x2

(x1)(3x2)03x20等价转化为：

比较不等式x1x1（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）0及0的解集。3x23x2

（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：

（1）f(x)f(x)0f(x)(x)0（3）0f(x)(x)0 (x)(x)

f(x)(x)0f(x)(x)0f(x)f(x)00（2）（4）(x)0(x)0(x)(x)

（3）小结分式不等式的解法步骤：

（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式

（2）转化为等价的整式不等式

（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）

练一练：解关于x的不等式(1)

例

1、解关于x的不等式：

解：21x3 0(2)35xx5x22 x3x220 x

3x22(x3)0 x3

x8即，0 x3

x80（保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）x3

(x8)(x3)0等价变形为：x30

原不等式的解集为

例

2、解关于x不等式

方法一：x28,3 x822x2x32x3恒大于0，利用不等式的基本性质

方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。

例

3、解关于x的不等式：

解：移项a1 xa10 x

axxa通分0即，0 xx

等价转化为，x(xa)0

x0

当a>0时，原不等式的解集为(0,a]

当a<0时，原不等式的解集为[a,0)

当a=0时，原不等式的解集为

（二）绝对值不等式 理解绝对值的几何意义：

其几何意义是数轴上的点a(a0)a0(a0)a(a0)，A(a)离开原点O的距离OAa。

（一）注意绝对值的定义，用公式法

即若a0，|x|a，则axa；若a0，|x|a，则xa或xa。

|2x3|3x1 例1.解不等式

解：由题意知3x10，原不等式转化为

即：对于形如

①当a>0时，②当a=0时，③当a<0时，拓展：形如(3x1)2x33x1 |f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式，此类不等式的简洁解法是等价命题法，即： |f(x)|aaf(x)a；|f(x)|af(x)a或f(x)a。|f(x)|a，无解；|f(x)|af(x)0。|f(x)|a，无解；|f(x)|af(x)有意义。a|f(x)|b(ba0)型不等式，此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即：

a|f(x)|b(ba0)af(x)b或bf(x)a。

例1解以下不等式：

（1）|2x3|5；|2x1|0。（2）

解：（1）由原不等式可得：2x35或2x35，即x>4或x1。

所以原不等式的解集是{x|x4或x1}

（2）因为左边为非负值，而右边为0，故不等式无解，即解集为。

（二）注意绝对值的非负性，用平方法

22|x|x等式的两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。

例2.解不等式|x1||2x3|

两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。

222222|x1||2x3|(x1)(2x3)(2x3)(x1)0 解：原不等式

即：对于 形如|f(x)||g(x)|型不等式，此类不等式的简洁解法是利用平方法，即：

|f(x)||g(x)||f(x)|2|g(x)|2[|f(x)||g(x)|]|f(x)g(x)|0。

例2解不等式|x1||2x3|。

4x22|x1||2x3|3x10x803解：原不等式等价于：，即，解得。2

2（三）注意分类讨论，用零点分段法

不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。

例3.解不等式|x2||x1|

3解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x10和x20得分界点

于是，可分区间x

1、x2(，2),[2，1]，[1,)讨论原不等式

x2,2x1,x1,或或(x2)[(x1)]3x2(x1)3x2(x1)

3解得x1或x

2x(，2)(1，)和

综上不等式的解为即：对于形如xcxbaxcxba不等式，用零点分段法1．解不等式x1x3

4（1）利用绝对值不等式的几何意义

这个不等式的几何意义是：数轴上到1对应点的距离与到3对应点的距离之和不小于4的所有点的集合（2）零点分段讨论：（即去掉绝对值）

注：x=1,与x=3将数轴分成三段，然后根据不等式的几何意义去掉绝对值，解不等式

（3）构造函数，求函数解集温馨提示：令f(x)xx3画出函数图像进行研究

总结:绝对值不等式的解法

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）xa(a0)axa；； ； ； xa(a0)xa或xaf(x)a(a0)af(x)af(x)a(a0)f(x)a或f(x)af(x)g(x)g(x)f(x)g(x)； f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)； ； axb(ba0)axb或bxa

f(x)

（8）

（9）2f(x)ag(x)f(x)[ag(x)]2a(a0)g(x)g(x)0g(x)0。|f(x)||g(x)||f(x)|2|g(x)|2[|f(x)||g(x)|]|f(x)g(x)|0

（10）对于形如

求解。

xaxbm等含有多个绝对值符号的不等式，常用“零点分段”或绝对值的几何意义

[课后练习]

1、不等式

2、不等式x1(2x1)0x1(2x1)0的解集为。的解集为。

11|xm|＜1成立的充分非必要条件是32，6、已知不等式

则实数m的取值范围是。

7、不等式x2x

3x1m的解集是。的解集为R的充要条件是（）

8、关于x的不等式

A．m0B．m1C．m0D．m

19、不等式｜x-x-6｜>3-x的解集是()

A．(3,+∞)B．(-∞，-3)∪(3,+∞)

2C．(-∞，-3)∪(-1，+∞)D．(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞)

10、解不等式

11、设函数|2x1||x4|x1。f(x)ax2，不等式|f(x)|6的解集为(1,2)，试求不等式

提高题x1f(x)的解集。

ab12、用>或<或或填空：ababab(｜a｜>｜b｜)。

；命题乙为两个实数a、b满足

13、已知h0，设命题甲为两个实数a、b满足ab2ha1h，且

b1h14、已知

15、已知

（1）求，那么甲是乙的条件。，a、bR，且a≠b，求证：f(x)x2f(a)f(b)ab． f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x，g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)g(x)|x1|。

第三篇：含绝对值不等式的解法修改

aa≥0

一．（1）绝对值定义|a|=｛-aa<0

绝对值的定义是用分类讨论思想定义的，他可以用来去掉绝对值的符号。

（2）实数a的绝对值表示在数轴上所对应点A到原点的距离。

（3）.请试着归纳出1.解方程|x|=2？|x|=2的几何意义是什么？

(4).能表述|x|>2, |x|<2的几何意义吗？其解集是什么？

二．根据上一 问题可得到

|x|>a的几何意义是到原点的距离大于a的点，其解集是﹛x|x>a或x<-a﹜

|x|

三． 能否归纳|ax+b|>c 与|ax+b|0)型不等式的解法？

|ax+b|>c（c>0）的解法是：先化不等式组ax+b>c 或ax+b<-c，再由不等式的性质求出原不等式的解集。

|ax+b|0)的解法是：先化不等式组-c

例题分析

例1 解不等式|3x-5|≤7

例2解不等式|2x-3|>

4例3 解不等式|1-2x|<5(找两名学生上黑板做)

【注】我们在解|ax+b|>c 与|ax+b|0)型不等式的时候，一定要注意a的正负。当a 为负数时，可先把a 化成正数再求解。

练习

1、解下列不等式

（1）|x-4|≤9

(2)|3x-3|≥15

2． 解下列不等式

（1）2|2x+1|-4≥0

（2）|1-4x|≤2

第四篇：《含绝对值不等式的解法》教案

《含绝对值不等式的解法》教案

本课件依据我校高三数学第一轮复习用书《步步高高考总复习—数学》及另选部分题目制作而成，全部内容都经过了课堂教学的检验，为教学过程的实录。

本节课首先给出复习目标、重点解析及知识要点，并给出了绝对值不等式||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|中等号成立的充要条件，对其中较难理解的情况给出了分析或证明。

然后给出了3道典型例题，每道例题后选配训练题帮助学生巩固、掌握所复习的知识。

最后以备选题的形式给出了12道训练题(其他教师使用本课件时可根据所教学生情况的不同，选取其中的题目作为例题)。大多数题目给出了不只一种的解题方法(思路)。

由于历年高考中大部分考生数学题解答不规范，导致无谓失分，制作课件时，力求每一道题的解答都相对完整。使用课件时，先和学生一起分析解题思路，然后通过屏幕展示给学生一个完整、规范的解题过程，以提高学生正确表述知识的能力。

第五篇：含绝对值不等式的解法习题课

第十一教时

三、补充：

例

七、已知函数f(x), g(x)在 R上是增函数，求证：f [g(x)]在 R上也是增函数。

例

八、函数 f(x)在 [0, 上单调递减，求f(x2)的递减区间。

例

九、已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：

1．f(0)= 0

2．若 f(x)在 [0, 上有最小值 1，则 f(x)在,0上有最大值1。

3．若 f(x)在 [1, 上为增函数，则 f(x)在 ,1上为减函数。

4．若 x > 0时，f(x)= x2  2x ,则 x < 0 时，f(x)=  x2  2x。其中正确的序号是：例

十、判断 f(x)

xx22x1x1 的奇偶性。