第一篇：《切线的判定》教学设计

《切线的判定》教学设计

惠农区回民学校 于玲

一、内容和内容解析 1.内容

新人教版教材九年级上册第24章第97页《直线和圆的位置关系》的第二课时《切线的判定》。2.内容解析

切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用，是几何学习中必不可少的知识和工具。切线的判定揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直。切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法。

结合教学实际及《课程标准》要求，我对教材内容略作了调整。当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，帮助学生进一步深化理解切线的判定定理，达到学以致用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定。

二、目标和目标解析 1.目标

（1）理解切线的判定定理。

（2）会用切线的判定定理解决简单的问题。

（3）通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。（4）通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性。2.目标解析

达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。

达成目标（2）的标志是：能运用切线的判定定理解决简单的问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。

达成目标（3）和（4）的标志是：学生通过动手操作发现并能用语言陈述切线的判定定理，用符号语言书写证明过程。

三、教学问题诊断分析

学生已经掌握了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角的知识，与圆有关的性质等。具有初步的逻辑推理能力和基本的作图能力等。学习本节课内容之前学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。因此，要结合教科书的问题进行说明 “垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，“经过半径外端”说明距离d等于半径，判定定理是为了便于应用而对直线和圆相切的定义改写得到的一种形式。除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也有重要作用。

部分学生仍然对几何证明题感到束手无策，具体表现在：一些证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容或具体运用的是哪条定理；在面对几何证明题时凭感觉，完全就不知道从何入手，缺乏分析思考问题的能力。或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形与定理之间的联系，思考时把定理和图形完全分割开来。

基于以上分析，本节课的教学难点是：切线的判定定理和定理的运用中，辅助线的添加方法。

四、教法与学法分析：

教法上：我主要采用以学案为载体的“五步三要素”教学模式（五步三要素的教学模式是课堂教学中的五个步骤和三个要素。五个步骤即自主学习、小展示、大展示、整理提升、当堂反馈；三个要素即自主、交流、验评。），充分发挥学生的主观能动性。本课注重直观，注重动手，注重探索能力的培养，并且九年级学生经过两年多的学习，已经积累了动手操作，探究问题的经验，也具备了这种探究问题及合作交流的能力。因此，根据本节课的内容和学生的认知水平，以学生自主学习为主，引导学生自主探究，教师赋予合理的评价，激发学生的学习兴趣，调动学生课堂积极性。

学法上：为了充分体现《课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，探索新知的能力，要充分体现学生的主体地位。为此，在本课的学习过程中学生主要使用探究式的学习方法。根据平面几何的特点，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法。本节是定理的教学，我认为要指导学生做好如下两方面的工作：

（1）学习定理一定要注重对基本图形的把握，理解和灵活运用定理是证题的基础，这正是学生感到困难的地方。从几何定理的特征出发，要解决这个难题，就要下功夫把定理内容和相应的基本图形建立起联系，使定理在头脑中灵活展现出来。

（2）常见的辅助线一定要了解，本节添加辅助线的关键在于“已知条件中是否明确了直线和圆的公共点。”如果无公共点就作垂线证d=r，有公共点的话，连半径证垂直，即“有点连线证垂直，无点做垂线证d=r。”

五、教学过程

（一）知识链接

1．直线与圆的三种位置关系是。

2．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么（1）直线l和圆O相交 有 个公共点。（2）直线l和圆O相切 有 个公共点。（3）直线l和圆O相离 有 个公共点。切线的判定方法：

（1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。（2）数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。【设计意图】检测学生旧知的应用能力，为下一步学习铺垫。

（二）探索新知 1.自主学习

（1）阅读课本第97页内容，完成思考中的小题。（2）根据上述切线的两个判定方法画一画

（3）归纳：切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。命题改写：如果一条直线经过圆的半径的外端且与这条半径垂直，那么这条直线是圆的切线。

符号表示：∵ OA是半径，OA⊥ l 于A ∴ l是⊙O的切线。

【设计意图】培养学生归纳及语言表达能力；使学生准确掌握定理的内涵及外延；使学生树立几何学习应当关注：文字语言、图形语言、符号语言。2.小测试

(1)新知辨识

①过半径的外端的直线是圆的切线。()①②②与半径垂直的的直线是圆的切线。()③过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线。()④过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线。（）

【再次强调】用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: ①直线经过半径的外端； ②直线与这条半径垂直。

【设计意图】巩固概念，让学生说理由，巩固对定理两个条件的认识，使学生掌握概念的本质，特别是树立切线的判定定理的基本图形，为下一环节的简单证明作铺垫。

（三）强化新知

例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。

求证：直线AB是⊙O的切线。思路：做辅助线，连接OC,证明OC⊥AB。

例2：已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。

思路：做辅助线，过点O作OE⊥AC于点E。

想一想：例1与例2的证法有什么不同?

（1）如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。

（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直 线的垂线段,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点，作垂直,证半径。

【设计意图】规范学生对定理的使用，引导学生认真审题，培养学生添加辅助线的能力。

（四）小结

1.判定圆的切线有哪些方法？

(1)定义：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。(2)数量（d = r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。(3)定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2.证明圆的切线时常用的辅助线有哪些？

(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到半径,再证所作半径

与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再

证垂线段长等于半径长。简记为：无交点 作垂直,证半径。【设计意图】小结不仅仅是总结知识，更是数学方法的小结，是 高层次的自我认识过程，帮助学生自行建构知识体系，形成学习能力。

（五）目标检测

1.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4）则⊙A与x 轴 的位置关系____ _,⊙A与y 轴的位置关系是____。

2.如图, A、B是⊙O上的两点,AC是过A点的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数等于______时,AC才能成为⊙O的切线。

3.已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC =∠A.请问BC是⊙O的切线吗？为什么？

4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E,求证:PE是⊙O的切线。

5.如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，过点D作射线DE，使∠ADE=30°。

求证：DE是⊙O的切线。

【设计意图】检验学生知识掌握的情况，分层次的检测，使所有的学生都体验成功的喜悦，（六）板书设计

24.2.2切线的判定

1.判定定理 例1 例2 文字语言 符号语言 图形语言 2.辅助线作法

（1）有交点，连半径，证垂直。（2）无交点，作垂直，证半径。

【设计意图】学生对知识点的掌握清晰明了，两个例题既规范学生的解题格式，又加强学生对辅助线的作法的理解。

（七）教学效果预测

在这节课中，让学生在动手操作的合作探索过程中，发现并验证得定理，从而获得新知，让学生动手操作活跃了课堂气氛，调动了学生学习的积极性。在这节课设计中，学生能够充分的参与到课堂中来，从被动的接受学习转向主动的探究和发现学习，从而对定理的探究掌握的比较好，但对定理的应用过程中，仍有部分学生对几何证明题的书写过程存在一定的困难，这也是今后要强化的重点。综合考量，能够达到本节课的教学目标，收到较好的教学效果。

第二篇：《切线判定》教学反思

《切线判定》教学反思

《切线的判定》是人教版教材九年级上册第24章——直线与圆的位置关系的第二节内容，本节内容是中考的必考内容，在全国各省市的中考命题中也都具有举足轻重的地位，同时也是高中学习《切线方程》的基础。本节课的重点是：切线的判定定理.难点是：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法.本节课我的教学是按：温故知新——创设情景——探究新知——学以致用——学后反思，5个教学环节展开。

温故知新环节通过问题串的形式展开：1直线与圆有几种位置关系？（相交，相切，相离）你能举出日常生活中的实例吗？，2回忆每种位置关系的2种判定方法。（①定义法，即交点法。从直观图形中来判断。②数量法即圆心与直线的距离d=圆的半径r）3课前检测，从而进一步巩固两种方法的转化运用，为本节课快速探究切线的判定定理以及外端点不明确只能用数量法证明圆的切线做铺垫。

创设情景环节主要通过让学生欣赏2个图片，使学生初步感受“圆的外端点”的概念。（①下雨天，快速转动雨伞时飞出的水珠。②在砂轮上打磨工件时飞出的火星）为探究新知概括切线判定埋下伏笔。

探究新知环节主要通过动手“做一做”（画一个⊙O及半径OA，画一条直线ι经过⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA.）“想一想”（这条直线与圆有几个交点？L是⊙O的切线吗？为什么？由此你会画圆的切线吗？）“说一说”（你能用文字语言概述切线的判定定理吗？）来完成。学以致用环节主要通过例题和针对练习展开；学后反思主要让学生谈谈本节课的收获，以及还有哪些疑问?顺利收尾。本节课教学亮点有以下几点：

1、温故知新环节复习针对性强，为总结切线的3种判定方法作了良好的铺垫作用。

2情景创设恰到好处。一方面使学生初步感受“圆的外端点”概念，另一方面感受外端点的圆的切线，这为接下来探究“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”作了很好的直观感知作用，为顺利探究“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”作了很好的铺垫作用。

3探究新知环节通过“画一画”“想一想”“说一说”激发了学生学习几何的积极性.也是新课程改革所倡导。有效地培养了学生通过操作发现规律，概括规律的能力。

4重点突出，难点突破得当。本节课的重点是“切线的判定定理”，而要很好的掌握定理，正确运用定理，首先必须要掌握定理使用的两个条件“经过半径的外端点”及“与这条半径垂直的直线”。只有在外端点明确的情况下，再证该半径与直线垂直。为此我首先强调定理的使用条件再告诉学生，外端点明确的语句常识“①点A在圆上（点A是外端点）②直径AB（点A、点B是外端点）③ ⊙O半径OA，OB等（点A、点B是外端点）④弦AB，CD等（点A、B、C、D是外端点）⑤直线AB交⊙O与点C（点C是外端点）”这样学生在读题的过程就会领会是否能用切线的判定定理来证明一条直线是否是圆的切线。本节课的难点有两点：①判断一条直线是缘的切线到底是用判定定理证还是用圆心到直线的距离等于圆的半径来证。②如何作辅助线。为了突破这两个难点，我主要设计了这两种类型的例题及针对练习，让学生在思考动脑证明的过程中感受①外端点明确，连半径，证垂直.②外端点不明确，作垂直，证半径。这样选哪种方法，如何作辅助线，做好辅助线后怎么证，学生就一清二楚了。

5“一题多证”培养了学生发散思维能力。

不足的地方：

1在让学生一题多证在实物投影仪上展示过程中，由于将幻灯片上的图形未画在黑板上，导致学生的证题过程无法与图形相联系，从而不能准确判断学生证题的规范性。

2、受时间影响，拓展提高环节未能得以落实。

3本节课教师讲的时间还嫌多，如果将知识的生成过程也让学生自己去引导、去发现会更好。

总之，从总体来说本节课达到了预期的教学效果，是一节较为成功的常规课，在今后的教学中，还要继续学习，继续试验“餐桌式”教学模式下的高效教学，进一步提高教学水平提高教学质量。

第三篇：圆的切线的判定教学设计

35.4 圆的切线的判定

一、教材分析：

切线的判定是九年制义务教育课本数学九年级第二学期第三十五章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是今后学习解析几何等知识．．学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。由于本章所研究的问题往往是直线形与曲线形交织在一起，解决问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识。

二、教学目标：

（1）掌握切线的判定定理.使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；

（2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，初步掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法，应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；

（3）培养学生动手操作能力.观察、探索、分析、总结、推理论证等能力.（4）通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性.三、教学重点、难点

1.重点：切线的判定定理.内心的性质

2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法

四、教学方法：动手操作 观察归纳.教具：圆模型 圆规 三角板 多媒体

五、教学过程设计

五、教学过程：

（一）课前复习（5分钟）

回答下列问题：（投影显示）

1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？

2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直线是不是一个圆的切线？

（要求学生举手回答，教师用教具演示）设计目的|：为探究圆的切线的判定方法做铺垫

二）引如课题（1分钟）： 我们可以用切线的定义来判定一条直线是不是一个圆的切线，但有时使用起来很不方便，为此，我们还要学习切线的判定定理.三）提出问题、分析发现

归纳结论（教师引导）（8分钟）1.切线判定定理的导出

师： 上节课讲了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是一条切线”.下面请同学们按我口述的上书步骤作图（一同学到黑板上作）：

先画⊙O，在⊙O上任取一点A，边结OA，过A点作⊙O的切线L.请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？

（引导学生总结出）：①经过关径外端，②垂直于这条半径.（设计意图：培养学生动手操作和观察归纳能力、及组织语言能力）

师； 如果一条直线满足以上两个条件，它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理）、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2、对定理的理解：

（引导学生理解）：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．

图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．

从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．

接着提出问题：若把定理中的“半径”改为“直径”可以吗？答案是肯定的.提问：判定一条直线是圆的切线，我们有多少种方法呢？

（学生讨论后，师生小结以下三种方法）（师板书）：

①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（三）应用定理，强化训练'（6分钟）

例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.已知：直线AB是⊙O的切线.分析：已知直线AB和⊙O有一个公共点C，要证AB是⊙O的切线，只需连结这个公共点 C和圆心O，得到半径OC，再证这条半径和直

线AB垂直即可.例2：已知：⊙O的直径长6cm，OA=OB=5cm，AB=8cm.求证：AB与⊙O相切.分析：题目中不明确直线和圆有公共点，故证

明相切，宣用方法2，因此只要证点O到直线AB 的距离等于半径即可，从而想到作辅助线OC⊥

AB于C.（说明：以上两题有师生共同分析，学生独立写出解题过程，两生板演，师

生共同订正强化解题过程）

师问：根据以上例题总结一下，证明直线与圆相切时，怎样做辅助线呢？

（经学生讨论后得出：）

①已明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是连结圆心和公共点，即得“半径”，再证“直线与半径垂直”.②不明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线，再证“圆心到直线的距离等于半径”.注意：当题目中不明确直线和圆有公共点时，不能将圆上任意一点当作公共点而连结出半径.（目的：发现总结规律，提高解题技巧方法）

四、课堂练习：（10分钟）． 1判断下列命题是否正确．

(1)经过半径外端的直线是圆的切线．

(2)垂直于半径的直线是圆的切线．

(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．

(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．（采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由），2、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．

3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切．

学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；

（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系．

4、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点

求证：CE=CF

（以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决．）

（目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）

五、做一做：（7分钟）

提出问题：你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?

2、分析、研究问题： 提出以下几个问题进行讨论：

①作圆的关键是什么?

②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置?

④圆心I确定后半径如何找．

A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成．（让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义）．

3、总结三角形内切圆的概念和内心性质

六、当堂检测4分钟

七、布置作业（8分钟）

八、板书设计

35.4圆的切线的判定

切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（①经过半径外端；②垂直于这条半径．）

常用辅助线：①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；

三角形内切圆：和三角性各边都相切的圆

内心：角平分线的交点

九、：教后反思：

本节课时间较紧容量较大，尤其三角形内切圆讲解不充分，有大部同学做内切圆较困难，教学时，应充分备课，合理分配时间，同时应重点指导学生如何对几何题进行解答，从哪里入手，怎样想，怎样写，怎样正确书写解题格式。样让学生养成良好的解题习惯。要注重体现学生在自己动手操作中发现问题，归纳出问题的结论，分类思想和华贵思想，教师要注意方法指导，并针对学生出现的典型问题进行强化训练。

第四篇：圆周角、切线的判定教学设计

圆周角、切线的判定

一、学习目标

1．学习了解圆周角的概念，掌握同圆或等圆中，圆周角和圆心角、弧、弦（包括弦心距）之间的对应

关系．

2．了解直线和圆的位置关系，掌握圆的切线的判定方法和性质定理，并能解决有关的证明和计算

二、教学重点和难点

1．重点是圆周角和圆心角的关系；圆的切线的判定和性质．

2．难点是用分类思想讨论圆周角和圆心角的关系．

三、教学内容解析

（一）知识梳理

在前面学习的基础上，进一步理解同弧所对圆周角和圆心角的对应关系，在分析图形的结构时，充分利用“弧”找角，体会曲线型图形的优势．

要注意培养类比的思维方法．体会除了从图形上定义直线和圆的位置关系之外，从数量关系上也可以反映直线和圆的三种位置关系的特征．应该认识到它们反映的本质相同． 1．圆周角的概念：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

2．圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

3．圆周角定理的推论：

（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

4．定理分析

圆周角定理提示了在同一个圆中，同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系．根据定理的推论（1），同弧或等弧所对的圆周角相等，说明了分析问题时可以借助于“圆弧”证明两个角相等（如图1，∠A和∠A′两个圆周角都对着同一条弧的∠A′的位置）．，它们相等）．另一方面，可以将已知的圆周角（如图1中的∠A）沿圆周转移到圆中所需要的位置（如图1中

图图2 1

利用圆周角定理推论（2），在解决有关圆的问题中，只要已知中给出直径条件，可自圆上任意一点分别连结直径的两个端点，从而构造直角（如图2所示），反过来，利用已知一个圆周角为直角，可以构造圆的直径．

推论（3）给出了直角三角形的一个判定方法．从圆的高度重新认识一些三角形的知识，这既是认识的深化，又是方法的更新．

5．圆的切线

（1）当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．这里“有唯一公共点”是有一个且只有一个公共点．

（2）按此定义判定直线和圆相切并不容易，可以据此分析得到“如果设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么直线与⊙O相切

”．

（3）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

如图，定理的题设是：一条直线满足：（1）过半径OA的外端点A；（2）垂直于半径OA；

结论是：这条直线是圆的切线（直线切圆O于点A）．

6．切线的判定方法

（1）和圆只有一公共点的直线是圆的切线；

（2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线；

判定切线有三种方法，证题中常用后两种方法，且往往需要添加辅助线．

7．添加辅助线的方法

（1）如果已知直线经过圆上一点，那么连结这点和圆心得到半径再证所作半径与这条直线垂直．即“连半径，证垂直”．

（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”．

（二）例题分析

1．如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

解：（方法一）∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°

∴∠POB=

又，．

，（）．

（方法二）如图所示，连结AQ，又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°，（）．

小结：在分析有关圆周角的问题时，往往通过同弧或等弧找到圆周角、圆心角之间的关系．当出现直径这个条件时，注意直径所对的圆周角是直角；如果没有直径所对的圆周角，这时往往需要添加辅助线，构造直径所对的圆周角．

想一想：若动点P与定点Q在⊙O上位于直径AB的同侧时，仍设∠POA=x°，∠PQB=y°，这时y与x之间又会有怎样的函数关系呢？

2．已知，如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径．

解：（方法一）如图，作⊙O的直径AC′，连结C′B，则∠AC′B=∠C=60°．

∵AC′是⊙O的直径，∴∠ABC′=90°

．

即⊙O的直径为．

于D．

（方法二）如图所示，连接OA，作

可以根据垂径定理，解出，从而得出直径为．

小结：构造直角三角形是常用的求线段长的方法．在圆中，可以构造垂径定理的基本图形，即由半径、半弦和弦心距构成的直角三角形；也可以构造直径所对的圆周角这一基本图形．

3．如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线．

证明：

（方法一）作直径CE，连结BE，则∠CBE=90°，∴∠E+∠OCB=90°．

∵∠A=∠E，∠DCB=∠A，∴∠DCB+∠OCB=90°，∴CD⊥半径OC于C，∴CD是⊙O的切线．

（方法二）此题也可采用圆周角定理证明

如图，连接OC、OB，设∠A=∠DCB=x，则∠BOC=2x．

∵OB=OC，∴∠OCB+∠DCB=90°

∴CD⊥半径OC于C，∴CD是⊙O的切线．

4．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．

求证：DE是⊙O的切线．

又已知DE⊥AE，所以需证：OD∥AC．

证明：（方法一）连结OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB．

∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC． 又∵DE⊥AC，∴DE⊥半径OD于D，∴DE是⊙O的切线．

分析：要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连结OD，只需证OD⊥DE即可，（方法二）连结OD、AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC．

∵AB=AC，∴BD=CD．

又∵OB=OA，∴OD∥AC ．

又∵DE⊥AC，∴DE⊥半径OD于D，∴DE是⊙O的切线．

5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点．

求证：DE是⊙O切线．

分析：已知圆和直线的公共点D，因此要证明DE是⊙O切线，只需连接OD，并且证明∠ODE=∠OCB=90°．

证明：（方法一）连结OD、OE．

∵OA=OC，E为BC中点，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ADO，∠COE=∠A．

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠DOE=∠COE． ∵OD=OC，OE=OE，∴△DOE≌△COE，∴∠ODE=∠OCE． ∵∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥半径OD于D，∴DE是⊙O的切线．（方法二）连结OD、CD． ∵AC是⊙O直径，∴CD⊥AB ． ∵E为BC中点，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．

又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD，∴∠ODE=∠OCE=90°，∴DE⊥半径OD于D，∴DE是⊙O的切线．

6．如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P ．

求证：⊙P与OB相切．

分析：因为不知道圆和直线是否有公共点，所以要证OB是⊙P的切线，需要作PF⊥OB于F，再证PF=PE即可．

证明：作PF⊥OB于F，∵OP平分∠AOB，且PE⊥OA，∴PF=PE，即PF为⊙P的半径，∴OB是⊙P的切线．

第五篇：切线的判定教学的反思

本课例以“教师为引导，学生为主体”的理念出发，通过学生自我活动、教师适当引导得到数学结论作为教学重点，呈现学生真实的思维过程为教学宗旨，进行教学设计，目的在于让学生对知识有一个本质的、有效的理解。反思本节课，有以下几个成功与不足之处：

成功之处：

一、提出问题，注重联系

在新课引入上，打破以往单纯复习旧知的惯例，而是抓住新旧知识之间的联系，提出“目标性”问题，创设了问题情境，既抓住了学生的注意力，为学习新知做好了铺垫，又使教学从“定义”过渡到“判定定理”，显得自然合理。

二、动手实践，主体参与

本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。

三、合理设计课堂结构和问题

新课程理念提倡“把课堂还给学生，让课堂充满活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：(一)、在动手操作发现判定定理的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的结论。(二)、分析结论。应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且通过画图举反例帮助学生理解，利用文字、几何语言的相互转化熟悉定理的使用条件。(三)、应用命题。根据活动二的结论，我设计了两个不同类型的例题，得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和作垂直，证半径”。