第一篇：解斜三角形简单练习

一、自主梳理1.正弦定理：

abc

===2R，其中R是三角形外接圆半径.sinAsinBsinC

b2c2a2

2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=.2bc11

1absinC=bcsinA=acsinB,S△=S(Sa)(Sb)(Sc)222abcabc

=Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).24R

3.S△ABC=

4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cossin

CAB=sin,22

CAB

=cos……

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;

(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及

abc

==，可求出角C，sinAsinBsinC

再求出b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

=，求出另一边b的对sinAsinB

acab

角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，sinAsinCsinAsinB

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.1．已知三角形的三边之比为3∶4∶37，则最大内角为 ． 2．已知(abc)(bca)＝3bc，则∠A＝．

3．已知三角形的一个内角是45，一邻边长是，对边长为2，则另一邻边长为．

，则∠A＝．

4

5．在△ABC中，已知a＝12，b＝4，∠A＝120，则c＝，S＝ ．

abc3b

6．已知sinA＝2sinBcosC，且＝，则三角形形状为．

bcac



7．在△ABC中，已知a＝1，b＝，∠A＝30，则∠B＝．

4．已知a＝4，b＝6，sinB＝

8．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，如果三角形有解，则∠A的取值范围． 9．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是 ．

10．在△ABC中，∠B＝45，D是BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝． 11．已知三角形的三条边之比为3∶5∶7，且最大边长为14，则三角形的面积为． 12．在锐角三角形ABC中，a＝8，c＝12，S＝243，则三角形中最小角是，它的正弦值等于． 二．选择题：

13．在△ABC中，sinA+cosA＝



7，则△ABC是（）1

2（A）钝角三角形；（B）锐角三角形；（C）直角三角形；（D）正三角形． 14．在△ABC中，∠A＝60，a＝7，b＝8，则三角形（）（A）有一解；（B）有两解；（C）无解；（D）不确定．

15．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosABC＝（）

111213；（B）－；（C）；（D）． 164244



16．在△ABC中，b＝1，c＝3，∠B＝30，则△ABC的面积是（）

（A）（A）

333；（B）；（C）或；（D）或． 24242

三．解答题：

17．在△ABC中，若acosA+bcosB＝ccosC，判断三角形形状． 解：

18．在△ABC中，已知ab＝60，S＝15，sinA＝cosB，求三角形的三内角． 解：

19．已知三角形三边是三个连续自然数，若最大角是最小角的两倍，求三边长． 解：



20．已知三角形两边之和为8，其夹角为60，求这个三角形周长的最小值和面积的最大值，并指出面积最大时三角形的形状． 解：

1.在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，则B等于()

A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对 2.△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 3.设A是△ABC最小内角，则sinA+cosA的取值范围是()

A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］

Abc

在△ABC中，cos2=(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()

2c

A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.已知锐角△ABC中,sin(A+B)=

31,sin(A-B)=.5

5(1)求证:tanA=2tanB;

(2)设AB=3,求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形

如图，有两条相交成60°角的直路EF、MN，交点是O.起初，阿福在OE上距O点3千米的点A处；阿田在OM上距O点1千米的点B处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向

.(1)求起初两人的距离；

(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候他们两人的距离最短？

1.在△ABC中，cos（A－B）＋sin（A＋B）=2，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.等腰钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形

a2b2c22.若△ABC的面积为，则内角C等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90° 3.△ABC中，sin2A=sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于（）A.30°B.60°C.120°D.150°

4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.由增加的长度决定

5.在△ABC中，A为锐角，lgb+lg（A.等腰三角形 形）=lgsinA=－lg2，则△ABC为（）c

B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角

6.在△ABC中，a（sinB－sinC）＋b（sinC－sinA）＋c（sinA－sinB）的值是（）A.1

2B.0C.1D.π

7.R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cosAcosB，则△ABC的外心位于（）A.三角形的外部B.三角形的边上 C.三角形的内部D.三角形的内部或外部，但不会在边上 8.若△ABC的三条边的长分别为3、4、6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（）

A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶

9.如图，D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α（α＜β），则A点离地面的高AB等于（）

A

D



C



B

D.acoscos

cos()

A.asinsin

sin()

B.asinsin

cos()

C.acoscos

sin()

10.在△ABC中，若

tanAtanBcb，这个三角形必含有（）

tanAtanBc

A.30°的内角B.45°的内角C.60°的内角

11.在△ABC中，tanB=1，tanC=2，b=100，则a=______.D.90°的内角

12.在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为__________.13.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若（a＋b＋c）·（sinA＋sinB－sinC）=3asinB，则C=______.14.在△ABC中，S是它的面积，a、b是它的两条边的长度，S=(a2b2)，则△ABC

为__________三角形.15.（本小题满分10分）隔河看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求A、B之间的距离.AB

C

D

16.（本小题满分10分）在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10,求AB的长.17.（本小题满分8分）在△ABC中，已知

tanAtanBcb，求∠A.

tanAtanBc

18.（本小题满分12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为（1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向距离A为2海里的C处有我方一艘缉私艇奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间？

19.（本小题满分14分）在△ABC中，已知a2－a=2（b＋c），a＋2b=2c－3.（1）若sinC∶sinA=4∶，求a、b、c；（2）求△ABC的最大角的弧度数.

第二篇：解斜三角形之余弦定理 教案

解斜三角形之余弦定理

一、教学类型： 新知课

二、教学目的：

1、2、掌握余弦定理的推导过程（向量法）； 会解斜三角形。

三、教学重点：余弦定理的推导

教学难点：余弦定理在解三角形中的应用

四、教具: 黑板

五、教学过程：

（一）引入新课：

上节课我们学习了正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ,是三角形的边与其角的正弦之间的关系，它的应用范围是什么呢？

1、2、已知两角，一边，求其他两边，一角;已知两边及一边的对角，求另一边的对角。

现在我提出一个问题:已知三边，如何求三角？

经过这一节课的学习，就可以回答这个问题了。下面我们来研究这个问题：

（二）讲解新课 这一节课，我们继续沿用向量法研究，仍然用“从特殊到一般”的数学思想。

如图所示，在直角三角形中，b²=a²+c²，在斜三角形中，它们又有什么关系呢？

AC=AB+BC |AC|²=AC·AC=(AB+BC)(AB+BC)=|AB|²+2BC·AB+|BC|²

=|AB|²+2|BC|·|AB|COS(180°-B)+|BC|² =|AB|²-2|BC|·|AB|COSB+|BC|²

b² = c²2bccosA c ² = b ² + a²-2abcosC 他们是不是也成立呢？这个留作思考题，不过答案是肯定的。这三个式子就是今天所要学习的余弦定理：

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边

与它们夹角的余弦的两倍。

将上述定理中的三个式子稍作变形，即得

cosA=﹙b ² + c ²-a ²﹚／2bc cosB=﹙c² + a²-b²﹚／2ac cosC=﹙ b ² + a²-c ²﹚／2ab 我们来看余弦定理的应用范围：

1、2、已知两边及夹角，求第三边极其他两角： 已知三边，求三角。

六、举例子：

在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A,B,C(精确到1°)。解：已知三边，求三角。

cosA=﹙b ² + c ²-a ²﹚／2bc =（10 ²+6 ²-7 ²）／2×10×6 =0.725 查表，得 A≈44° cosC=﹙ b ² + a²-c ²﹚／2ab =（7 ²+10 ²-6 ²）／2×10×7 =0.8071 查表，得 B≈36° B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°

七、布置作业：

1、2、余弦定理的其他两种形式的证明； 课本131页：3.﹙3﹚（4）4.(2)

八、教学后记

第三篇：高一数学 解斜三角形的应用教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：解斜三角形的应用

教材：解斜三角形的应用

目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知识解决实践中的有关问题。

过程：

一、提出课题：解斜三角形的应用

二、例一(课本P132 例一)略

例二[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6米，求货物开始下滑时AC的长。

解：

设车箱倾斜角为，货物重量为mg fNmgcos

当mgcosmgsin即tan时货物下滑

20’，AC长为1.40

tan 0.3tan

arctan0.31642'

1642'620'2302'

在△ABC中: BC2AB2AC22ABACcosBAC

22 1.951.4021.951.40cos2302'10.787 BC3.28

例三(课本P133 例二)略 例四 我舰在敌岛A南50

西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10

西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？ 解：在△ABC中：AB=12 AC=10×2=20

BAC=40

+80

=120

BC2AB2AC22ABACcosBAC

112220221220()784 BC=28

2即追击速度为14mile/h 又：∵△ABC中，由正弦定理：

ACBC sinBsinA∴sinBACsinA5353 ∴Barcsin

BC1414∴我舰航行方向为北(50arcsin53)东 1

4三、作业：P134 练习1、2习题5.10 1—4

第四篇：解斜三角形、正弦定理、余弦定理--冯自会

文尚学堂

文尚学堂学科教师辅导讲义

讲义编号***教学管理部***教学管理部***教学管理部

第五篇：202_届高考数学一轮复习教案：5.4 解斜三角形

5.4 解斜三角形

●知识梳理

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc==.sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

a2=b2+c2－2bccosA；

① b2=c2+a2－2cacosB；

② c2=a2+b2－2abcosC.③ 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得

b2c2a2cosA=；

2bcc2a2b2cosB=；

2caa2b2c2cosC=.2ab利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基

1.（202_年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形

B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等边三角形 a2c2b2解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.ac答案：C 2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是

A.sinA+cosA=

15B.AB·BC＞0

D.b=3，c=33，B=30° C.tanA+tanB+tanC＞0 解析：由sinA+cosA=

124得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.525第1页（共8页）

由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，∴cos〈BA，BC〉＜0.∴B为钝角.由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.由

3bcπ2π=，得sinC=，∴C=或.2sinBsinC33答案：C 3.（202_年全国Ⅳ，理11）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为A.C.13 223 23，那么b等于 2

B.1+3 D.2+3

3，2解析：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为且∠B=30°，故由S△ABC=

1113acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦2242a2c2b24b212b2b243定理，得cosB====，解得b2=4+23.又b为边长，2ac2642∴b=1+3.答案：B 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.b2c2a21π解析：由已知得（b+c）－a=3bc，∴b+c－a=bc.∴=.∴∠A=.2bc23π答案：

3222

25.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.a2b2c2解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1，2ab∴1＜c＜5.答案：（1，5）

●典例剖析

【例1】 △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC1cos2A1cos2B－=sinBsin（A+B）221（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），2因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只

第2页（共8页）

能有A－B=B，即A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论

（1）该题若用余弦定理如何解决?

b2c2a2（b2c2）b（bc）cb解：利用余弦定理，由a=b（b+c），得cosA===，2bc2bc2b

222a2c2b22（bc）ccbcos2B=2cosB－1=2（）－1=－1=.22ac2b2b（bc）c所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决? 2解：由题设a2=b（b+c），得

ab= bca

①，作出△ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD.①式表示的即是△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.BCAC=，所以DCBC 又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，所以A=2B.评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】（202_年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC中，sin（A+B）=

31，sin（A－B）=.55（1）求证：tanA=2tanB；

（2）设AB=3，求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin（A+B）=

31，sin（A－B）=，5532sinAcosBcosAsinBsinAcosBtanA55∴=2.11tanBsinAcosBcosAsinBcosAsinB55∴tanA=2tanB.（2）解：即π33＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－，254tanAtanB3=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得1tanAtanB4第3页（共8页）

tanB=2626（负值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+6.223CDCDCD设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+6，tanAtanB26所以AB边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】（202_年春季北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值.c剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可b2bsinB用余弦定理.由b=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.cc解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.2b2c2a2bc1在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，absinBb2sin603∵b=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.cac211解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.222∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.3bsinB=sinA=.2c评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用∴正弦定理.●闯关训练 夯实基础

1.（202_年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

1”的 2B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

11；sinA＞30°＜A＜150°22解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞A＞30°.答案：B 2.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为

第4页（共8页）

A.75°

B.60°

C.50°

D.45°

解析：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，∴DF=CFsin（140）.sin40CFDF=.sin40sin（140）∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大.答案：C 3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=则∠C的度数是_______.解析：由S=答案：45°

4.在△ABC中，若∠C=60°，则

ab=_______.bcac111π（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.42441（a2+b2－c2），4a2acb2bcab解析：= bcac（bc）（ac）=.abacbcc2∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得a2b2acbcabacbcc2a2b2acbc

（*）

=1.答案：1 5.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A.b=20，A=45°，C=80°

B.a=30，c=28，B=60° C.a=14，b=16，A=45°

D.a=12，c=15，A=120° 解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得有两值.答案：C 培养能力

6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=的取值范围.a2c2b2a2c2ac1ac11解：∵b=ac，∴cosB===（+）－≥.2ac2ac2ca22π∴0＜B≤，3242sinBsinA=，所以sinB=.因而B

716141sin2BsinBcosB21sin2B（sinBcosB）πππ7πy===sinB+cosB=2sin（B+）.∵＜B+≤，sinBcosBsinBcosB44412∴2π＜sin（B+）≤1.故1＜y≤2.24第5页（共8页）

7.已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为2.（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由22（sinA－sinC）=（a－b）·sinB得22（2

a24R2－

c24R2）=（a－b）

b.2Ra2b2c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab.∴cosC==.2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=

311absinC=×ab

222=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A =333sin2A－sin2Acos2A+

2223.233.2AB的AC=3sin（2A－30°）+∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=8.在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求取值范围.解：令AB=kx，AC=x（k＞0，x＞0），则总有sinB=理得sinB=cosA=

aa，sinC=（图略），且由正弦定kxxxsinA，所以a2=kx2·sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得ak2x2x2kx2sinA2kx2=

111（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤1222=5.所2kk以k2－5k+1≤0，所以所以

5151≤k≤.225151AB的取值范围为［，］.22AC探究创新

9.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）

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解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=（2+2）ab，当且仅当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=b=10，sin（45）10，sinab===1010· sinsin（45）100

sinsin（45）

22sin（cossin）22100=

22sin2（1cos2）44400400=≥，2sin（245）222当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB|2≥400（22）=400（2+1）2，22100当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.所以当a=b=10222）=10（时，|AB|最短，其最短距离为20（2+1），即当sin2230222）AB分别在OA、OB上离O点10（km处，能使|AB|最短，最短距离为20（2－1）.●思悟小结

1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin

ABCABCABC=cos，cos=sin，tan=cot.2222222.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.●教师下载中心 教学点睛

1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.第7页（共8页）

2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例

【例1】 已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+

2sinA.cosAcos（BC）（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.2sinπ（BC）解：（1）∵y=cotA+

coscosπ（BC）（BC）=cot A+=cot A+2sin（BC）

cos（BC）cos（BC）sinBcosCcosBsinC

sinBsinC=cotA+cotB+cotC，∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.（2）∵cos（B－C）≤1，A2sinA2+2tanA=1（cotA+3tanA）≥3tanAcotA=3.∴y≥cotA+=

A221cosA22222tan21tan2故当A=B=C=π时，ymin=3.3评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥3.【例2】 在△ABC中，sinA=

sinBsinC，判断这个三角形的形状.cosBcosC分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得

bc2222a=2，所以b（a－b）+c（a－c）=bc（b+c）.所以（b+c）22222cababc2ca2aba2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.第8页（共8页）