第一篇：证明线面垂直的三步法

证明线面垂直的万能法则

王霖普

方法1

一条线垂直于平面内的两条直线

（构建等腰三角形高，勾股定理，三角形组相似产生互余角，或三角函数值证明相似，求出三角形中两角的三角函数值，若不是特殊值可能用到诱导公式，致使令一角为90度

方法2

三垂线定理

（1）与上面的法则配合使用

（2）射影定理继而构建三垂线定理

（3）由线面角，面面角诱导线面垂直

看边角关系就是看是否构成直角或等腰的情况

第二篇：专题线面垂直

专题九： 线面垂直的证明

题型一：共面垂直(实际上是平面内的两条直线的垂直)例1：如图在正方体ABCDA1BC11D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1中点,求证：AOOE

1题型二：线面垂直证明（利用线面垂直的判断定理）

例2：在正方体ABCDAO为底面ABCD的中心，E为CC1,1BC11D1中，平面BDE 求证：AO1

题型三：异面垂直（利用线面垂直的性质来证明，高考中的意图）例3.在正四面体ABCD中，求证ACBD

P N D C A M B 练：如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

题型四：面面垂直的证明(本质上是证明线面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号

是.①平面PAB平面PBC ②平面PAB平面PAD ③平面PAB平面PCD

例5.如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

第三篇：证明线面垂直的专项练习

线面垂直

1：（本小题满分13分）(09广东 文）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图

5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（3）证明：直线BD平面PEG.w.w.w..s.5.u.c.o.m（2）求该安全标识墩的体积；(64000)

2、(09广东 理数）如图６，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点Ｅ、Ｇ在平面

DCC1D1内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边

界的棱锥的体积；

（２）证明：直线FG1平面FEE1；

（３）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值（）

33、.(11广东 理）如图5，在椎体PABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB

600,PAPDPB2,E,F分别是BC,PC的中点，（1）证明：AD平面DEF

（2）求二面角PADB的余弦值。（

21）7

14.(11湖南 文 12分）在圆锥PO

中，已知POO的直径AB2,点C在AB上,且CAB=30,D为AC的中点．（Ⅰ）证明：AC平面POD;

（Ⅱ）求直线 OC平面PAC所成角的正弦值.（）

35.(11北京 理）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,BAD60（1）求证：BD平面PAC

(2)PA=AB,求PB与AC所成的角的余弦值。

（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA 的长（PA

6）

6．（本小题满分12分）（11褔建 文）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（I）求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，∠CDA=45°，（12）求四棱锥P-ABCD的体积（7.（本小题满分12分）(11天津 文）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

5)6

线面垂直

8、如图，四棱锥P的底面是边长为1的正方形，PACD,PA1,PD

（Ⅰ）求证:PA平面ABCD；

（Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积.（Ⅲ）求直线PB与底面ABCD所成角的大小.9、已知三棱锥P—ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别

为AC、PC的中点，DEAP于E。（1）求证：AP平面BDE；

（2）求证：平面BDE平面BDF；

（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成上、下两部分的体积比。

10、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，_ A

_C

_D

PA=PC=2a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直线PB与AC垂直；（3）求二面角A－PB－D的大小.11．如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB4．

P

（1）证明PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离．12.（202_年广东理 13分）

Q

如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；(tan3)

13.（202_

江西理12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。

（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；

（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。

14.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，2PE=EC。

（I）证明PC平面BED；

（II）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小

15.（本小题满分13分）(11广东 文）

图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分别为

'

CD,C'D',DE,D'E'的中点，O1,O1',O2,O2分别为

CD,C'D',DE,D'E'的中点.（1）证明：O1,A,O2,B四点共面；

''

（2）设G为A A′中点，延长AO1到H′，使得O1HAO1.证明：BO2平面HBG

'

'

'

'

'

''

'

'

'

18（本小题满分4分）(13广东 理）

如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900BC=6,D,E分别是AC，AB上的点，CD=BE=

错

误！未找到引用源。，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=?3

1）

证明：A’O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值.（

第四篇：线线、线面平行垂直的证明

空间线面、面面平行垂直的证明

12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，（Ⅰ）求证：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如图，在正方形ABCDA'B'C'D'，A'（1）求证：A'B//平面ACD'；

（2）求证：平面ACD'平面DD'B。

A

4.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC和BD的交点.求证：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1平面AB1D1．

DA

C1

C

(5题图)

6.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为

DD1的中点。

（1）求三棱锥DPAC的体积；（2）求证：直线BD1∥平面PAC；（3）求证：直线PB1平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧棱

PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：DEBC

（3）证明：PB平面EFD。

8.ABCDA1B1C1D1是长方体，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱

A

AA12，E是侧棱BB1的中点.（Ⅰ）求证：AE平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱锥AC1D1E的体积.

第五篇：线面垂直

§1.2.3空间中的垂直关系---线面垂直（课前预习案）

班级：___ 姓名：________ 编写：刘爱娟 审核：胡文刚 时间：202_.12.1

1一、新知导学

1.如果两条直线则称这两条直线互相垂直

2.定义：直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_______________________直线都垂直, 记作：a⊥α.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面, 提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条___________直线都垂直，那么这条直线垂直 若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n，则l⊥

推论1.如果两条平行线中,有一条垂直于平面,那么另一条推论2.如果两条直线那么这两条直线平行

二、课前自测

1、过直线外一点作直线的垂线有个；平行线有个.2、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有条；平行平面有个.3、已知：空间四边形ABCD，ABAC，DBDC，E为BC的中点

求证：BC平面AEDBEC

§1.2.3空间中的垂直关系---线面垂直（课堂探究案）