第一篇：一元二次方程总复习全章知识点梳理.

一元二次方程总复习考点 1:一元二次方程的概念

一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一 元二次方程.一般形式:ax 2+bx+c=0(a≠ 0。注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一 般形式。

考点 2:一元二次方程的解法 1.直接开平方法 2.配方法: 3.公式法: 4.因式分解法:因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。

5.一元二次方程的注意事项: ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意,强调 a ≠ 0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是一元二 次方程.⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a , b , c 的值;②若 b 2-4ac <0,则方程无解.★ ⑶ 利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4 2 =3(x +4中,不能随便约去 x +4。

⑷ 注意:解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外 但又必须熟练掌握,解一元二次方 程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.6.一元二次方程解的情况

⑴ b 2-4ac ≥ 0⇔方程有两个不相等的实数根;⑵ b 2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;⑶ b 2-4ac ≤ 0⇔方程没有实数根。

解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时,往往首先考虑用

b 2-4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点 3:根与系数的关系 :韦达定理 对于方程 ax 2 +bx+c=0(a≠ 0 利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形。

解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定

理。

二、经典考题剖析: 【易错】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(A.02=++c bx ax B.0652=++k x k C.01232=++x x x D.012 3(22=+++x x k

1、(202_成都 若关于 x 的方程 kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是（A.k>-1 B.k>-1且 k ≠ 0 C.k<1 D.k<1且 k ≠ 0

2、解方程:(1 1(2 1(3-=-y y y y(2 0862=+-x x

3、(202_鄂州 关于 x 的方程 kx 2+(k+2x+4k =0有两个不相等的实数根,(1求 k 的取值范围;(2是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在求出 k 的值;不存在说明理由。

4.当 m 是何值时,关于 x 的方程 22234 1(2(x x m x m =--++(1是一元二次方程;(2是一元一次方程;(3若 x=-2是它的一个根,求 m 的值。考点三:一元二次方程的应用

一、考点讲解: 1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下: ⑴ 与几何图形有关的应用:如几何图形面积模型、勾股定理等;⑵ 有关增长率的应用:此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低两次得到新数据,常见的

等量关系是 a(1±x 2=b,其中 a 表示增长(降低前的数据, x 表示增长率(降低率 , b 表示

后来的数据。注意:所得解中,增长率不为负,降低率不超过 1。

⑶ 经济利润问题:总利润 =(单件销售额-单件成本³销售数量;或者,总利润 =总销售额-总成

本。

⑷ 动点问题:此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线

段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。

★ 2.注重解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特

别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.二、针对性训练: 1.合肥百货大搂服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出 20件,每件盈利 40元。为

了迎接“十²一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库

存。经市场调查发现:如果每件童装降价 4元,那么平均每天就可多售出 8件。要想平均每天在

销售这种童装上盈利 1200元,那么每件童装应降价多少?

2.在宽为 20米、长为 32米的矩形地面上, 修筑同样宽的两条互相垂直的道路, 余下部分作为耕地, 要使耕地面积为 540米 2,道路的宽应为多少?

.为解决饮用水问题,某省对各市的饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.08 年, A 市在财政补助的基础上再投入 600万元用于 “改水工程” , 计划以后每年以相同的

增长率, 10年该市计划“改水工程” 1176万元.(1求 A 市“改水工程”的年平均增长率;(2从 08年到 10年, A 市三年“改水工程”多少万元? 32m 4.如图 12-3,△ ABC 中,∠ B=90°,点 P 从 A 点开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s的速度移动,点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s的速度移动。

(1如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发,经几秒钟,使 PBQ ∆的面积等于 2 8cm ?(2 PBQ ∆的面积等于 210cm 么,为什么?

中考真题

1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图 1-2-2后,小敏回答:“方程有一根为 1” ,小聪回答:“方

程有一根为 2”.则你认为(A.只有小敏回答正确 B.只有小聪回答正确 C.两人回答都正确 D.两人回答都不正确

2.解一元二次方程 x 2-x-12=0,结果正确的是(A.x 1=-4, x2=3 B.x 1=4, x 2=-3 C.x 1=-4, x 2=-3 D.x 1=4, x 2=3 3.方程(3(3 x x x +=+解是(A.x 1=1 B.x 1=0, x 2=-3 九年级上复习课教案 C．x 1 =1，x 2 =3 ZN D．x 1 =1，x 2 =－3 2 2 2 4.若 t 是一元二次方程 ax ＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ = b －4ac 和完全平方式 M=(2at+b 的关系是（）A．Δ =M 5.方程 A．0 B．Δ ＞M C．Δ ＜M D．大小关系不能确定 x 2(x  1  0 B．1 2 的根是（）D．0，1）C．0，－1 6.已知一元二次方程 x A．－2 B．2 －2x－7=0 的两个根为 x 1，x 2，则 x 1 + x 2 的值为（C．－7 2 D．7 7.已知 x 1、x 2 是方程 x －3x＋1 ＝0 的两个实数根，则 1 B、－3 C、3 2 2 1 1 的值是( x1 x 2 A、3 D、1 2 2 8.用换元法解方程(x ＋x ＋(x ＋x＝6 时，如果设 x ＋x＝y，那么原方程可变形为（）A、y ＋y－6＝0 C、y －y＋6＝0 2 2 2 B、y －y－6＝0 D、y ＋y＋6＝0 2 2 9.方程 x －5x=0 的根是（）A．0 B．0，5 2 C．5，5 D．5 10.若关于 x 的方程 x ＋2x＋k=0 有实数根，则（）A．k

＜1，B．k≤1 C．k≤－1 D．k ≥－1 11.如果一元二次方程 x －4x＋2＝0 的两个根是 x 1，x 2，那么 x 1 ＋x 2 等于（）A.4 B.－4 2 2 C.2 D.－2 12.用换元法解方程(x －x－ A.y ＋y－6＝0 C.2 x 2  x ＝6 时，设 x 2  x ＝y，那么原方程可化为（）y 2 ＋y＋6＝0 y 2 －y＋6＝0(B.D.2 y 2 －y－6＝0 13.设 x 1，x 2 是方程 2x +3x-2=0 的两个根，则 x 1 ＋x 2 的值是 6 九年级上复习课教案 A．-3 3 ZN 2 3 2 D． 3 B．3 C．－ 14.方程 x-x=0 的解是（）A．0，1 B．1，-1 C．0，-1 D．0，1，－1 x 2 5x x   4  0时，若设 =y,则原方程 x 1 x+1 15.用换元法解方程 x  1 _(16.两个数的和为 6，差（注意不是积）为 8，以这两个数为根的一元二次方程是__________ 17.方程 x －x=0 的解是______________ 2 _ 18.等腰△ABC 中，BC=8，AB、BC 的长是关于 x 的方程 x －10x+m= 0 的两根，则 m 的值是________.19.关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x+1=0 的两个根同号，则 a 的取值范围是 _______________.2 20.解方程 2x-9x+5=x-3 2 21.解方程：x －2x －3x＝0. y=x+1  2 2 22.解方程组：  x +y =5 3 2 23.解方程：2（x－1）+5（x－l）+2=0． 24.解方程：x 25.解方程：x 2 2 －2x－2=0 +5x+3=0 2 2 26.已知关于 x 的一元二次方程 x (k  1 x  6  0 的一个根是 2，求方程的另一根和 k 的值． 2 2 27.已知关于 x 的一元 二次方程(k  4 x  3x  k  3k  4  0 的一个根为 0，求 k 的值． 28.如图 1－2－3 为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为 20 厘米，钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．（此题用到三角函数）中考预测题

一、基础经典题(44 分(一选择题(每题 4 分，共 28 分 7 九年级上复习课教案 ZN 2 【备考 1】如果在－1 是方程 x +mx－1=0 的一个根，那么 m 的值为（）A．－2 B．－3 C．1 D．2 【备考 2】方程 2 x(x  3  5(x  3 的解是（）A． x  3 B.x  5 2 C.x1  3, x2  5 D.x  3 2 2 【备考 3】若 n 是方程 x  mx  n  0 的根，n≠0，则 m+n 等于（）A．－7 B．6 C．1 D．－1 2 【备考 4】关于 x 的方程 x  mx  n  0 的两根中只有一个等于 0，则下列条件中正确的是（）A．m＝0，n＝0 C．m≠0，n = 0 B．m＝0，n ≠0 D．m≠0，n≠0 【备考 5】以 5－2 6 和 5+2 6 为根的一元二次方程 是（）2 A． x

 10 x  1  0 B． x  10x  1  0 2 C． x  10x  1  0 2 D． x  10x  1  0 2 2 【备考 6】已知 x1，x2 是方程 x －x－3=0 的两根，那么 x1  x 2 值是（）2 2 A．1 B．5 C．7 49 D、4 1 2 x (m  3 x  m2  0 【备考 7】关于 x 的方程 4 有两个不相等的实根，那么 m 的最大整数是（）A．2 B．－1 C．0 D．l

（二）填空题（每题 4 分，共 16 分）【备考 8】 已知一元二次方程 x ＋3x+1=0 的两个根为 x 1，x 2 那么（1+ x 1）（1+ x 2）的值等于_______.【备考 9】 已知一个一元二次方程 x +px+l=0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 P 的值是_______.【备考 10】如图，在□ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AE=EB=EC=a，且 a 是一元二次方程 x +2x－3=0 的根，则□ABCD 的周长是_______ 2 2 2 8 九年级上复习课教案 A ZN D B E C 2 2 【备考 11】关于 x 的方程(k  1 x  3(k  2 x  k  42  0 的一次项系数是－3，则 k=_______ 【备考 12】关于 x 的方程(a  1 x

三、实际应用题（9 分）a2 2 a1  x 5 是一元二次方程，0 则 a=__________.本题为增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关 数量 【备考 13】202_ 年 2 月 27 日《广州日报》报道：202_ 年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区 面积占全市面积的百分比）为 4．65％，尚未达到国家 A 级标准，因此，市政府决定加快绿化建 设，力争到 202_ 年底自然保护区覆盖率达到 8％以上，若要达到最低目标 8％，则广州市自然保 护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）． 14.据媒体报道，我国 202_ 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次，202_ 年公民出境旅游总人数 约 7200 万人次，若 202_ 年、202_ 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果 202_ 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 202_ 年我国公民出境旅游总人数约多少万 人次？ 15.商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？

16、9

第二篇：一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习

类型之一　一元二次方程及其解的概念

1(202_·白银)已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为()

A．－1或2

B．－1

C．2

D．0

【变式训练】

1．(202_·黑龙江)已知2＋是关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个实数根，则实数m的值是()

A．0

B．1

C．－3

D．－1

2．(202_·扬州)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2

015的值为

.类型之二　一元二次方程的解法

2(1)(202_·临沂)一元二次方程x2－4x－8＝0的解是()

A．x1＝－2＋2，x2＝－2－2

B．x1＝2＋2，x2＝2－2

C．x1＝2＋2，x2＝2－2

D．x1＝2，x2＝－2

(2)(202_·齐齐哈尔)解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．

【变式训练】

3．(202_·张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为()

A．2

B．4

C．8

D．2或4

4．(202_·镇江)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为

.5．解方程：x2－3x＋2＝0.类型之三　一元二次方程的根的判别式

3(1)(202_·潍坊)关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－k＝0根的情况，下列说法正确的是()

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．无实数根

D．无法确定

(2)(202_·黔西南)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()

A．m<2

B．m≤2

C．m<2且m≠1

D．m≤2且m≠1

(3)已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.①若此方程的一个根为1，求m的值；

②求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

【变式训练】

6．(202_·广西北部湾)一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是()

A．有两个不等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．无实数根

D．无法确定

7．(202_·怀化)已知一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为()

A．k＝4

B．k＝－4

C．k＝±4

D．k＝±2

8．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围．

类型之四(选学)一元二次方程根与系数的关系

4(202_·十堰)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；

(2)若xx2＋x1x＝24，求k的值．

【变式训练】

9．(202_·邵阳)设方程x2－3x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2的值为()

A．3

B．－

C．

D．－2

10．(202_·黄石)已知：关于x的一元二次方程x2＋x－2＝0有两个实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)设方程的两根为x1，x2，且满足(x1－x2)2－17＝0，求m的值．

类型之五　一元二次方程的应用

5(202_·湘西)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20

000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24

200个．

(1)求口罩日产量的月平均增长率；

(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

【变式训练】

11．(202_·河南)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.202_年至202_年我国快递业务收入由5

000亿元增加到7

500亿元．设我国202_年至202_年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为()

A．5

000(1＋2x)＝7

500

B．5

000×2(1＋x)＝7

500

C．5

000(1＋x)2＝7

500

D．5

000＋5

000(1＋x)＋5

000(1＋x)2＝7

500

12．(202_·盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

(1)若降价3元，则平均每天销售数量为

件；

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1

200元？

第三篇：《一元二次方程》复习学案

第17章

一元二次方程

单元复习

学习目标：

1、进一步理解一元二次方程的意义。

2、熟练掌握一元二次方程的解法，会根据一元二次方程的特点灵活地选择解法。

3、理解并掌握一元二次方程知识在数学中和生活中的应用，养成建立数学模型解决实际问题的思想方法。

4、培养和提高分析问题、解决问题的能力。体会数学的价值。学习过程：

一、阅读教材试编写知识结构图，并与教材知识点作比较。

二、梳理本章知识：

1、一元二次方程的定义及一般形式： 理解一元二次方程的定义须抓住哪三个要素？

一元二次方程的一般形式是什么？应注意什么？要确认一元二次方程的各项系数须注意些什么？

2、一元二次方程有哪四种解法？其中哪几种解法属特殊解法？哪属一般解法？

（1）直接开平方法：什么形式的方程可用直接开平方法求解？（2）因式分解法：

如果一元二次方程经过因式分解能化成（x＋a）（x＋b）＝０的形式，它就可以化为哪两个一元一次方程来求解？这种方法体现了怎样的数学思想？你能小结因式分解法的步骤吗？（3）配方法：

2通过配方把一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０变形为（ｘ+）＝的形式，再利用直接开平方法解之，这就是配方法。

请你小结配方法解一元二次方程的一般步骤：

① 移

②化

③ 配

④ 用直接开平方法解变形后的方程。（注 “将二项系数化为１”是配方的前提条件，配方是关键）

（4）公式法：（注意根的判别式与根的数量的关系）

你会写出求根公式吗？注意的条件是什么？你会推导这个“万能公式”吗？用公式法解一元二次方程的一般步骤：

/ 3

①化方程为一般形式，即

（ａ≠０）； ②确定ａ、ｂ、ｃ的值，并计算

的值（注意符号）； ③当ｂ2－4ａｃ≥０时，将ａ、ｂ、ｃ及ｂ2－4ａｃ的值代入求根公式，得出方程根：ｘ＝

；当ｂ2－4ａｃ

０时，原方程

实数解。

3、解一元二次方程的应用题基本步骤有：

（1）审

。（2）设

（3）列

（4）解方程。（5）检验，结果是否符合实际意义。

4、用适当的方法解下列一元二次方程。

1.x22x503.x216x406.0.09x20.21x0.102.(x4)2(2x1)204.2x23x60

5.x23a24ax（a为常数）7.(x4)2(x5)2(x3)2244x5、自我提高

（一）填空题：

（1）x2x

（2）4x2(x1()21)2)2

（3）x24x3(x

将多项式3x212x写成配方的形式：________________

（二）解下列方程：

（1－x）2=1

49x2－144=0

x2＋6x＋9=0

x（7－3x）=4x（40－2x）（28－2x）=448

2x2－3（x－3）2=6

（三）解答题：

1、已知：x24xy5y24y40，求yx；

/ 3

22、已知关于x的方程(m3)xm12(m1)x10

（1）m为何值时，它是一元一次方程。

（2）m为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；

（四）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

/ 3

第四篇：一元二次方程知识点的总结

一元二次方程知识点的总结

知识点归类

建立一元二次方程模型

知识点一一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？ 2223；⑴2⑵x6x0；（3xx5；（4）x0；（5）2x(x3)2x21 x5

知识点二 一元二次方程的一般形式

2一元二次方程的一般形式为axbxc0（a，b，c是已知数，a0）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

2（3）形如axbxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次

方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）5x27x；（2）x2x38；（3）3x4x3x22 2

2例2 已知关于x的方程m1xm

知识点三一元二次方程的解 2m1x20是一元二次方程时，则m

x23x20使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x2时，所以x2是x3x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点一因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例用因式分解法解下列方程：

（1）5x22224x；（2）(2x3)250；（3）x6x952x。2

知识点二直接开平方法解一元二次方程

若xaa0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程2的方法叫做直接开平方法。

（1）xaa0的解是xa；（2）xmnn0的解是22

xnm；（3）mxncm0,且c0的解是x2cn。m

2例用直接开平方法解下列一元二次方程（1）9x160；（2）x5160；（3）x53x1 222

知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如axbk0k0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方2

法解。

例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）4x5360；（2）12x30 22

知识点四用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

t2t0，将原方程变形为t0.01如：0.01t20，由此可得出2

t0或0.0t20，即t10,t2200

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五形如“x2abxb0a,b为常数”的方程的解法。

对于形如“xabxb0a,b为常数”的方程（或通过整理符合其形2

式的），可将左边分解因式，方程变形为xaxb0，则xa0或xb0，即x1a,x2b。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“x2abxb0a,b为常数”型方程的特征。

2例 解下列方程：（1）x5x60；（2）xx120 2

配方法

知识点一配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含

未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2pxq0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例用配方法解下列方程：

22（1）x6x50；（2）x7x20 2

知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2）把原方程变为xmn的形式。2

（3）若n0，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。

例 解下列方程：x4x30

知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为xmn的形式； 22

（3）若n0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例用配方法解下列方程：

（1）3x9x20；（2）x4x30

公式法

知识点一一元二次方程的求根公式 22

bb24ac一元二次方程axbxc0a0的求根公式是：x 2a2

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为axbxc0a0的形式，2

确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b4ac的值；（3）若b4ac0，则a,b.把及22

bb24acb4ac的值代人求根公式x，求出x1,x2。2a2

例用公式法解下列方程

（1）2x3x10；（2）2xx2210；（3）x2x250 

知识点二选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知

数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x392x3；（2）x8x60；（3）x2(x1)0 222

知识点三一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2bxc0a0根的判别式 △=b4ac 2

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1）△=b4ac﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2）△=b4ac=0方程有两个相等的实数根；

（3）△=b4ac﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b4ac的值；④根据b4ac的符号判定方程根的情况。例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）2x3x50；（2）9x

知识点四根的判别式的逆用

在方程axbxc0a0中，222230x25；（3）x6x100 22222

（1）方程有两个不相等的实数根b4ac﹥0 2

（2）方程有两个相等的实数根b4ac=0 2

（3）方程没有实数根b4ac﹤0 2

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例m为何值时，方程2m1x4mx2m30的根满足下列情况： 2

（1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 知识点五一元二次方程的根与系数的关系

2若x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两个根，则有x1x2bb，x1x2aa

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：

（1）x1x2x1x22x1x2（2）222xx211 1

x1x2x1x2

（3）(x1a)(x2a)x1x2ax1x2a2；

（4）│x1x2│=

2x1x22=x1x224x1x2 例已知方程2x5x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。

（1）x1x2；（2）x1x2。222

知识点六根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

2例当x取什么值时，代数式xx60与代数式3x2的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。

知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a1x，两次增长后的值为a1x；（2）若基数为a，降低率x为，则2

一次降低后的值为a1x，两次降低后的值为a1x。2

例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x，列出关于x的方程为

知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；

（3）销售额=售价×销售量

例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

第五篇：一元二次方程

一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax²+bx+c=0（a≠0），其中，ax²是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。a≠0是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。

一元二次方程最常规的解法是求根公式法，其外亦有因式分解法和配方法等方法。